
设有截面为S、密度为ρ的固体细长棒。假定有平面纵波沿着棒长方向传播,棒中的每一小段将不断地受到拉伸和压缩。观察一个体积元ab,其原长度为Δx,体积为ΔV,如果在某一时刻这体积元正在被拉长,左端面处的胁强为σ(=FS)(受力方向左),右端面的胁强将为σ+∂σ∂xΔx(受力方向向右),式中的∂σ∂x表示这时刻胁强随距离的改变率。因此体积元所受到的合力
F=−σS+(σ+∂σ∂xΔx)S=∂σ∂xSΔx
由牛顿第二定律F=ma得到
∂σ∂xSΔx=ρSΔx∂u∂t
亦即∂σ∂x=ρ∂u∂t
设体积元左端位移为y,右端位移为y+Δy .因此体积元的长度变换为Δy,其原长为Δx,结合杨氏模量的定义:
E=σΔx/x0
立即可以得到
E=σ∂y∂x
σ=E∂y∂x=ElimΔx→0ΔyΔx
注意到u=∂y∂t,与(6)一起带入(3)式即得
∂2σ∂x2=1E/ρ∂2y∂t2
与波动方程∂2σ∂x2=1u2∂2y∂t2对比可以得到:
u=√Eρ