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介质中(纵波)波速和杨氏模量、密度的关系

设有截面为S、密度为ρ的固体细长棒。假定有平面纵波沿着棒长方向传播,棒中的每一小段将不断地受到拉伸和压缩。观察一个体积元ab,其原长度为Δx,体积为ΔV,如果在某一时刻这体积元正在被拉长,左端面处的胁强为σ(=FS)(受力方向左),右端面的胁强将为σ+σxΔx(受力方向向右),式中的σx表示这时刻胁强随距离的改变率。因此体积元所受到的合力
F=σS+(σ+σxΔx)S=σxSΔx

由牛顿第二定律F=ma得到
σxSΔx=ρSΔxut

σx=ρut

设体积元左端位移为y,右端位移为y+Δy .因此体积元的长度变换为Δy,其原长为Δx,结合杨氏模量的定义:
E=σΔx/x0
立即可以得到
E=σyx

σ=Eyx=ElimΔx0ΔyΔx

注意到u=yt,与(6)一起带入(3)式即得
2σx2=1E/ρ2yt2
与波动方程2σx2=1u22yt2对比可以得到:
u=Eρ