一般地,我们可以用一个波函数来描述一个平面简谐波:
$$
y=Acos[\omega(t-\frac{x}{u})+\varphi]\tag1
$$
先求动能:
$$
\begin{align*}
dE _k&=\frac{1}{2}\rho dV (\frac{\partial y}{\partial t})^2\\
&=\frac{1}{2}\rho dV A^2 \omega ^2 sin^2[\omega(t-\frac{x}{u})+\varphi]
\end{align*}\tag2
$$
再求势能,注意这里的势能是切变弹性势能,$dx $是线元的原长:
$$
\begin{align*}
dE_p&=\frac{1}{2} k (\frac{\partial y}{\partial x}dx)^2\\
&=\frac{1}{2}k(dx)^2A^2 \frac{\omega ^2}{u^2} sin^2[\omega(t-\frac{x}{u})+\varphi]
\end{align*}\tag3
$$
在之前的工作中,我们找到了杨氏模量与纵波波速的关系，同样我们可以推出切变模量和横波波速的关系，因此现在把k用切变模量$G$表示,这里$dx$表示线元以及它的原长:
$$
\begin{align*}
Y&=\frac{kdx}{S}\\
&=\frac{k}{Sdx}(dx)^2\\
&=\frac{k}{dV}(dx)^2\\
&=\frac{k\rho}{dm}(dx)^2\\
\end{align*}\tag4
$$
$$
\begin{align*}
u&=\sqrt\frac{G}{\rho}\\
&=\sqrt\frac{\frac{k\rho}{dm}}{\rho}dx\\
&=\sqrt\frac{k}{dm}dx
\end{align*}
\tag5
$$
将(5)式代入 (3)式，得到:
$$
\begin{align*}
dE_p&=\frac{1}{2}A^2\omega^2 sin^2[\omega(t-\frac{x}{u})+\varphi]dm \\
&=\frac{1}{2}\rho dV (\frac{\partial y}{\partial t})^2 \\
&=\frac{1}{2}\rho dV A^2 \omega ^2 sin^2[\omega(t-\frac{x}{u})+\varphi]=dE_k \\
\end{align*}\tag6
$$