七夕佳节，为何不来研究一会数学呢？虽然是昨天的成果，但是现在发出来符合我一贯的作风（手动滑稽
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\oint_{\partial S}ud\mathbf{l}=-\iint_{S}{\nabla u\times d\mathbf{S}} \tag{1}
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问题的由来
几个月前，还在封闭的宿舍中上着网课。但是这网课吧，它催眠是一级棒的。于是我便在闲暇看看书本，我一行一行地读着那些抽象的文字，我的数理基础受到了严重的考验。就在我跟着例题解算磁偶极子在远程产生的磁场时，一个式子引起了我的注意。
乍一看这与那三大积分定理颇为相似，但是仔细一想，它甚至不是某种通量，因为等式的左右两端都是矢量。一番思考未果，我便去求助于伟大的互联网（Google、Wikipedia、Zhihu、StackExchange），虽然有所发现，但也只是找到了这个式子的另外几种写法，并没有附上证明。后面我又去请教了几位大佬同学，也是没有什么收获，那一个下午便这么过去了。
问题的解决
学期结束，迎来假期，假期摸鱼到如今，掐着手指一算，里开学也就十余天了，我便重起炉灶开始预习。好奇心重，所以翻出了那个式子。在网络搜索方面我重走老路，然而这几个月的时光并没有产生更多关于这个晦涩的式子的信息。
只能说知乎的推荐算法比较厉害，知道我即将复习电磁场（事实上这几天我都在复习《信号与系统》），推荐给了我一篇专栏，在它的最后，我惊喜地发现作者给出了这个公式及其证明，但似乎有一些小小的瑕疵，然后我按照他的思路算了一遍，发现还真可行，于是就有了这篇博文。
证明
一切的铺垫就是为了这一刻的到来，那么我们开始吧
观察(1)式，我们可以发现它的积分结果是一个矢量，要证明两个矢量相等，一个清晰的思路就是证明它们各个分量相等。于是以$x$方向的分量为例：
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欲证:(\oint_{\partial S}ud\mathbf{l})\cdot \mathbf{e_x} =-(\iint_{S}{\nabla u\times d\mathbf{S}})\cdot \mathbf{e_x} \tag{2}
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我们令$\mathbf{A}=u\mathbf{e_x}$，化简一下(2)式:
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只需证:\oint_{\partial S}{\mathbf A \cdot d\mathbf{l}}=\mathbf{e_x}\cdot\iint_{S}{\mathbf{e_n}\times \nabla u dS} \tag{3} \
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我们从左边入手:
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\begin{align*}
\oint_{\partial S}{\mathbf A \cdot d\mathbf{l}}&=\iint_{S}(\nabla\times \mathbf{A})\cdot \mathbf{e_n}dS \tag4 \\
&=\iint_S{(\frac{\partial u}{\partial z}\mathbf{e_y}-\frac{\partial u}{\partial y}\mathbf{e_z})\cdot \mathbf{e_n}dS} \tag5 \\
&=\iint_S{[\frac{\partial u}{\partial z}(\mathbf{e_n})_y-\frac{\partial u}{\partial y}(\mathbf{e_n})_z]dS} \tag6 \\
&=\mathbf{e_x}\cdot \iint_S{\mathbf{e_n}\times\nabla u dS}\tag7
\end{align*}
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于是我们便证明了
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(\oint_{\partial S}ud\mathbf{l})\cdot \mathbf{e_x} =-(\iint_{S}{\nabla u\times d\mathbf{S}})\cdot \mathbf{e_x}
$$
对$y,z$方向如法炮制，我们可以得到:
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(\oint_{\partial S}ud\mathbf{l})\cdot \mathbf{e_y} =-(\iint_{S}{\nabla u\times d\mathbf{S}})\cdot \mathbf{e_y} \tag8
$$
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(\oint_{\partial S}ud\mathbf{l})\cdot \mathbf{e_z} =-(\iint_{S}{\nabla u\times d\mathbf{S}})\cdot \mathbf{e_z} \tag9
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于是在$\mathbb{R}^3$中:
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\oint_{\partial S}ud\mathbf{l}=-\iint_{S}{\nabla u\times d\mathbf{S}}\quad Q.E.D.
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后记
那快感堪比cumming,可惜并非所有人都能有幸体验到。
——知乎网友
就这样吧，祝考试顺利、身体健康！